ดร. สุกรี คชเสนี เกิดเมื่อวันที่ 11 ตุลาคม 2472 เป็นบุตรชายคนสุดท้องของ อำมาตย์ตรี หลวงบริณัยจรรยาราษฏร์ มณฑล คชเสนี และนางกระถิน คชเสนี มีพี่น้องร่วมบิดา-มารดารวม 3 คน ได้แก่ 1. นางสุทิพย์ พึ่งประดิษฐ์ อดีตครูอาวุโส โรงเรียนวชิราวุธวิทยาลัย (ถึงแก่กรรม) 2. ศาสตราจารย์เกียรติคุณ นายแพทย์สุเอ็ด คชเสนี (ถึงแก่อนิจกรรม) 3. พลเรือเอก สุภา คชเสนี อดีตผู้บัญชาการทหารสูงสุด และ สมาชิกวุฒิสภาไทย

ดร. สุกรี คชเสนี สมรสกับ น.ส. สุรีย์ ชัดแววศรี เมื่อ พ.ศ. 2507 มีบุตรสองคน คือ 1. นายสุกัลป (ถึงแก่กรรม) และ 2. นายสุรการ คชเสนี